Inhoud

• routebeschrijving
• tips
• waarschuwing

De definitie van epsilon-delta is een demonstratie die studenten in het eerste jaar van calculuslessen leren. Deze definitie is een klassieke manier om aan te tonen dat een functie een specifieke drempel nadert als een onafhankelijke variabele een bepaalde waarde benadert. Epsilon en delta zijn respectievelijk de vierde en vijfde letter van het Griekse alfabet. Deze letters worden traditioneel gebruikt bij het proces van het berekenen van grenzen en worden ook gebruikt in demonstratieprocessen.

routebeschrijving

De epsilon-delta-definitie wordt gebruikt om grensvragen op te lossen. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Men zou moeten beginnen met het werken met de formele limietdefinitie. Deze definitie stelt dat "de limiet van f (x) L is, als x k benadert, als voor elke epsilon groter dan nul er een corresponderende delta is, groter dan nul, zodanig dat, wanneer de waarde absoluut van het verschil tussen x en k is kleiner dan delta, de absolute waarde van het verschil tussen f (x) en L is kleiner dan epsilon. "Informeel betekent dit dat de limiet van f (x) L is, wanneer x k benadert, als het mogelijk is om f (x) zo dicht bij L te maken als gewenst, door x naar k te benaderen. Om de epsilon-delta-demonstratie uit te voeren, moet worden aangetoond dat het mogelijk is om delta te definiëren in termen van epsilon, voor een bepaalde functie en grens.

   
   

2. Bewerk de instructie "| f (x) - L | is kleiner dan de epsilon" totdat u | x - k | minder dan een waarde. Beschouw deze "enige waarde" als de delta. Denk aan de formele definitie en het centrale idee, waarin wordt gesteld dat het noodzakelijk is om te laten zien dat er voor elke epsilon een delta bestaat, waarbij een relatie tot stand wordt gebracht die de definitie waar maakt. Om deze reden is het noodzakelijk om delta te definiëren in termen van epsilon.

3. Let op de volgende verschillende voorbeelden om te begrijpen hoe de definitie verdergaat. Om bijvoorbeeld te bewijzen dat de limiet van 3x-1 2 is, als x 1 nadert, beschouwen we k = 1, L = 2 en f (x) = 3x-1. Om zeker te zijn dat | f (x) - L | is minder dan epsilon, do | (3x - 1) - 2 | lager dan epsilon. Dit betekent dat | 3x - 3 | is minder dan de epsilon, dus 3 | x - 1 | is ook, of || x - 1 | is minder dan epsilon / 3. Dus gezien deze delta = epsilon / 3, | f (x) - L | zal minder zijn dan epsilon wanneer | x - k | is minder dan delta.

   
   

tips

• Het centrale deel van het bewijs is om f (x) - L in x - k te transformeren. Als je dit doel in gedachten houdt, zal de rest van de demonstratie perfect plaatsvinden.

waarschuwing

• In sommige situaties kan de limiet van een functie aangeven dat f (x) neigt naar oneindig wanneer x neigt naar oneindig. De definitie van epsilon-delta werkt in deze gevallen niet; in deze situaties kan een vergelijkbare demonstratie worden gemaakt door twee grote getallen, M en N, te kiezen en te laten zien dat f (x) M kan overschrijden door te zorgen dat x N overschrijdt, en M kan zo groot zijn als gewenst.